Distribución Normal
Introduce el valor de z y obtén la probabilidad acumulada, la probabilidad entre dos valores y otros cálculos de la distribución normal.
¿Qué es?
La distribución normal (o campana de Gauss) es la distribución de probabilidad continua más importante en estadística. Esta calculadora recibe la media (mu), la desviación típica (sigma) y un valor x, y calcula la puntuación Z estandarizada (z = (x - mu) / sigma) y las probabilidades acumuladas: P(X menor o igual a x) — la probabilidad de que la variable sea menor o igual al valor dado — y P(X mayor que x) — la probabilidad de que sea mayor. Usa una aproximación de la función de error (erf) con precisión de 4 decimales.
¿Para qué sirve?
La distribución normal describe una enorme variedad de fenómenos naturales y sociales: estaturas humanas, pesos al nacer, errores de medición, calificaciones de exámenes estandarizados, rendimientos financieros y muchos otros. Es la base del teorema del límite central, de las pruebas de hipótesis estadísticas y de los intervalos de confianza. Se estudia en estadística de bachillerato y en los cursos de probabilidad y estadística de prácticamente todas las carreras universitarias de México, Colombia, Argentina, Chile, Perú y toda Latinoamérica.
Calculadoras relacionadas
Preguntas frecuentes
- ¿Qué es la distribución normal y por qué tiene forma de campana?
- La distribución normal o gaussiana es una distribución de probabilidad continua simétrica alrededor de la media (mu), con la mayor concentración de datos cerca de la media y colas que se extienden hacia los extremos siguiendo una curva en forma de campana. Sus dos parámetros son la media mu (que determina la posición del centro) y la desviación típica sigma (que determina el ancho de la campana). La fórmula de la densidad es f(x) = (1/(sigma*raíz(2*pi))) * e^(-(x-mu)²/(2*sigma²)). La curva es simétrica: el 50% de los datos está a la izquierda de la media y el 50% a la derecha.
- ¿Qué es la puntuación Z y cómo se calcula?
- La puntuación Z (o puntaje z, z-score) indica cuántas desviaciones estándar se aleja un valor x de la media: z = (x - mu) / sigma. Un z positivo significa que x está por encima de la media; negativo, por debajo. Ejemplos: si mu = 70 y sigma = 10, entonces x = 85 — z = (85-70)/10 = 1,5 (1,5 desviaciones por encima). x = 55 — z = (55-70)/10 = -1,5 (1,5 desviaciones por debajo). x = 70 — z = 0 (exactamente la media). La puntuación Z estandariza cualquier distribución normal a la distribución normal estándar N(0,1), lo que permite usar tablas estadísticas o esta calculadora para obtener probabilidades.
- ¿Qué son P(X menor o igual a x) y P(X mayor que x)?
- P(X <= x) es la probabilidad acumulada: la fracción de la distribución que queda a la izquierda del valor x. También se llama función de distribución acumulada (CDF). Ejemplo: si las calificaciones de un examen siguen N(mu=70, sigma=10), P(X <= 80) da la probabilidad de que un estudiante sacara 80 o menos, que es la fracción del área bajo la curva hasta x = 80. P(X > x) = 1 - P(X <= x) es la probabilidad de que el valor sea mayor que x. Ejemplo: P(X > 80) = 1 - P(X <= 80) ≈ 1 - 0,8413 = 0,1587, es decir, el 15,87% de los estudiantes sacó más de 80.
- ¿Qué es la regla empírica 68-95-99,7?
- Para cualquier distribución normal N(mu, sigma): el 68,27% de los datos cae dentro de 1 desviación estándar de la media (entre mu - sigma y mu + sigma); el 95,45% dentro de 2 desviaciones (entre mu - 2*sigma y mu + 2*sigma); el 99,73% dentro de 3 desviaciones (entre mu - 3*sigma y mu + 3*sigma). Ejemplo: estaturas de mujeres en México: mu = 157 cm, sigma = 6 cm. El 68% mide entre 151 y 163 cm. El 95% entre 145 y 169 cm. Solo el 0,27% mide menos de 139 cm o más de 175 cm. Esta regla es la base del control de calidad Six Sigma (6 desviaciones estándar = 99,99966% dentro de especificaciones).
- ¿Qué es la distribución normal estándar N(0,1)?
- La distribución normal estándar es la distribución normal con media mu = 0 y desviación típica sigma = 1. Es el caso particular que se obtiene al estandarizar cualquier distribución normal: si X sigue N(mu, sigma), entonces Z = (X - mu)/sigma sigue N(0,1). La calculadora usa esta estandarización internamente: calcula z = (x - mu)/sigma y luego aplica la CDF de N(0,1) para obtener la probabilidad. Para usar la distribución estándar directamente, introduce mu = 0 y sigma = 1 en la calculadora. Las tablas z que encuentras en libros de estadística LATAM (SPSS, Excel, R) corresponden a esta distribución.
- ¿Cómo se aplica la distribución normal en educación latinoamericana?
- Las pruebas estandarizadas de México (COMIPEMS, CENEVAL, EXANI), Colombia (SABER/ICFES), Chile (PAES/PSU), Argentina (UBA/CBS) y Perú (Preuniversitario) están diseñadas para que sus resultados sigan aproximadamente una distribución normal. Esto permite comparar resultados de distintas versiones del examen mediante la estandarización. La puntuación Z indica en qué posición está un estudiante respecto al grupo: z = +2 significa que está en el percentil 97,7% (mejor que el 97,7% de los examinados). El percentil 50 corresponde a z = 0, es decir, exactamente la media del grupo.
- ¿Cómo se aplica la distribución normal en finanzas latinoamericanas?
- En finanzas, los rendimientos diarios de activos bursátiles se modelan frecuentemente como distribuciones normales (aunque la realidad muestra colas más pesadas). La distribución normal es la base del modelo Black-Scholes para valoración de opciones y del concepto de Value at Risk (VaR): el VaR al 95% de un portafolio es el cuantil 5% de su distribución de pérdidas, calculado como mu - 1,645*sigma. Si un fondo en la Bolsa Mexicana de Valores (BMV) tiene rendimiento diario medio 0,05% con sigma 1%, su VaR al 95% es -1,595%, es decir, en días malos (5% de las veces), el fondo pierde más del 1,595%.
- ¿Qué es el teorema del límite central y por qué la distribución normal es tan ubicua?
- El teorema del límite central (TLC) establece que la suma (o media) de un gran número de variables aleatorias independientes, sin importar su distribución original, tiende a seguir una distribución normal. Esta es la razón fundamental por la que la distribución normal aparece en tantos fenómenos: la estatura es la suma de miles de factores genéticos y ambientales; el error de medición es la suma de muchos pequeños errores aleatorios; el rendimiento de un fondo de inversión es la acumulación de muchas variaciones independientes. El TLC se demuestra en los cursos de probabilidad de primer año en todas las universidades latinoamericanas.